Matemáticos destacados a lo largo de la Historia
Tales de Mileto
(Mileto, actual Turquía, 624 a.C.-?, 548 a.C.) Filosófo y matemático griego. En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. Dirigió en Mileto una escuela de náutica, construyó un canal para desviar las aguas del Halis y dio acertados consejos políticos. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímenes, y contemporáneo de Anaximandro.
Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, no buscó un Creador en dicha racionalidad, pues para él todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas, pues se constituye en vapor, que es aire, nubes y éter; del agua se forman los cuerpos sólidos al condensarse, y la Tierra flota en ella. Tales se planteó la siguiente cuestión: si una sustancia puede transformarse en otra, como un trozo de mineral azulado lo hace en cobre rojo, ¿cuál es la naturaleza de la sustancia, piedra, cobre, ambas? ¿Cualquier sustancia puede transformarse en otra de forma que finalmente todas las sustancias sean aspectos diversos de una misma materia? Tales de Mileto consideraba que esta última cuestión sería afirmativa, puesto que de ser así podría introducirse en el Universo un orden básico; quedaba determinar cuál era entonces esa materia o elemento básico.
Finalmente pensó que era el agua, pues es la que se encuentra en mayor cantidad, rodea la Tierra, impregna la atmósfera en forma de vapor, corre a través de los continentes y la vida no es posible sin ella. La Tierra, para él, era un disco plano cubierto por la semiesfera celeste flotando en un océano infinito. Esta tesis sobre la existencia de un elemento del cual estaban formadas todas las sustancias cobró gran aceptación entre filósofos posteriores, a pesar de que no todos ellos aceptaron que el agua fuera tal elemento. Lo importante de su tesis es la consideración de que todo ser proviene de un principio originario, sea el agua, sea cualquier otro. El hecho de buscarlo de una forma científica es lo que le hace ser considerado como el "padre de la filosofía".
En geometría, y en base a los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto de teoremas generales y de razonamientos deductivos a partir de estos. Todo ello fue recopilado posteriormente por Euclides en su obra Elementos, pero se debe a Tales el mérito de haber introducido en Grecia el interés por los estudios geométricos.
Pitágoras de Samos
Filósofo y matemático griego nacido en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los filósofos jónicos, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Posiblemente llegó a conocer a Tales, aunque no se sabe con certeza. Viajó por Babilonia y Egipto, y posiblemente también por la India. Durante estos viajes tuvo la oportunidad de conocer las matemáticas y la astronomía de estos pueblos, siendo influido también por las creencias de tipo religioso. Cuando regresa a Samos la isla está gobernada por el tirano Policrates. Su espíritu libre no acepta aquello y decide emigrar a Crotona, en la Magna Grecia, hoy sur de Italia (530 a. de C.). Allí funda una escuela o comunidad, considerada como algunos como una secta, con propósitos religiosos, políticos y filosóficos que alcanzó gran renombre y expansión. Su influencia política provocó levantamientos contra ellos, por lo que Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento. Un año más tarde muere en Metaponto.
Entre las investigaciones matemáticas de los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares, de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas.
En geometría descubrieron el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En astronomía los pitagóricos significaron un avance en el pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central.
En geometría descubrieron el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En astronomía los pitagóricos significaron un avance en el pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central.
Johannes Kepler
Nació el 27 de diciembre de 1571, en Weil der Stadt, Württemberg.
Cursó estudios de Teología y clásicas en la Universidad de Tübingen. Tuvo como profesor de matemáticas a Michael Maestlin, partidario de la teoría heliocéntrica del movimiento planetario desarrollada en principio por Nicolás Copérnico. En el año 1594, viaja a Graz (Austria), donde elaboró una hipótesis geométrica compleja para explicar las distancias entre las órbitas planetarias. Posteriormente, dedujo que lasórbitas de los planetas son elípticas. Sostenía que el Sol ejerce una fuerza que disminuye de forma inversamente proporcional a la distancia e impulsa a los planetas alrededor de sus órbitas. Publicó un tratado titulado Mysterium Cosmographicum en 1596.
Profesor de astronomía y matemáticas en la Universidad de Graz de 1594 hasta 1600. Fue ayudante del astrónomo danés Tycho Brahe en su observatorio de Praga y la muerte de éste en 1601, fue nombrado matemático imperial y astrónomo de la corte del emperador Rodolfo II. Una de sus obras más importantes durante este periodo fue Astronomía nova (1609), fruto de sus esfuerzos para calcular la órbita de Marte. El tratado contiene la exposición de dos de las llamadas leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Según la primera ley, los planetas giran en órbitas elípticas con el Sol en un foco. La segunda, o regla del área, afirma que una línea imaginaria desde el Sol a un planeta recorre áreas iguales de una elipse durante intervalos iguales de tiempo. En el año 1612 se hizo matemático de los estados de la Alta Austria.
Publicó Harmonices mundi, Libri (1619), cuya sección final contiene otro descubrimiento sobre el movimiento planetario (tercera ley): la relación del cubo de la distancia media (o promedio) de un planeta al Sol y el cuadrado del periodo de revolución del planeta es una constante y es la misma para todos los planetas. Su última obra importante aparecida en vida fueron las Tablas rudolfinas (1625). Basándose en los datos de Brahe, las nuevas tablas del movimiento planetario reducen los errores medios de la posición real de un planeta de 5 °a 10'.
Además realizó aportaciones en el campo de la óptica y desarrolló un sistema infinitesimal en matemáticas, que fue un antecesor del cálculo.
Johannes Kepler falleció el 15 de noviembre de 1630 en Regensburg
Profesor de astronomía y matemáticas en la Universidad de Graz de 1594 hasta 1600. Fue ayudante del astrónomo danés Tycho Brahe en su observatorio de Praga y la muerte de éste en 1601, fue nombrado matemático imperial y astrónomo de la corte del emperador Rodolfo II. Una de sus obras más importantes durante este periodo fue Astronomía nova (1609), fruto de sus esfuerzos para calcular la órbita de Marte. El tratado contiene la exposición de dos de las llamadas leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Según la primera ley, los planetas giran en órbitas elípticas con el Sol en un foco. La segunda, o regla del área, afirma que una línea imaginaria desde el Sol a un planeta recorre áreas iguales de una elipse durante intervalos iguales de tiempo. En el año 1612 se hizo matemático de los estados de la Alta Austria.
Publicó Harmonices mundi, Libri (1619), cuya sección final contiene otro descubrimiento sobre el movimiento planetario (tercera ley): la relación del cubo de la distancia media (o promedio) de un planeta al Sol y el cuadrado del periodo de revolución del planeta es una constante y es la misma para todos los planetas. Su última obra importante aparecida en vida fueron las Tablas rudolfinas (1625). Basándose en los datos de Brahe, las nuevas tablas del movimiento planetario reducen los errores medios de la posición real de un planeta de 5 °a 10'.
Además realizó aportaciones en el campo de la óptica y desarrolló un sistema infinitesimal en matemáticas, que fue un antecesor del cálculo.
Johannes Kepler falleció el 15 de noviembre de 1630 en Regensburg
Blaise Pascal
(Clermont-Ferrand, Francia, 1623-París, 1662) Filósofo, físico y matemático francés. Su madre falleció cuando él contaba tres años, a raíz de lo cual su padre se trasladó a París con su familia (1630). Fue un genio precoz a quien su padre inició muy pronto en la geometría e introdujo en el círculo de Mersenne, la Academia, a la que él mismo pertenecía. Allí Pascal se familiarizó con las ideas de Girard Desargues y en 1640 redactó su Ensayo sobre las cónicas , que contenía lo que hoy se conoce como teorema del hexágono de Pascal.
En Ruán Pascal comenzó también a interesarse por la física, y en especial por la hidrostática, y emprendió sus primeras experiencias sobre el vacío; intervino en la polémica en torno a la existencia del horror vacuien la naturaleza y realizó importantes experimentos (en especial el de Puy de Dôme en 1647) en apoyo de la explicación dada por Torricelli al funcionamiento del barómetro.
La tensión de su pensamiento entre la ciencia y la religión quedó reflejada en su admisión de dos principios del conocimiento: la razón (esprit géométrique), orientada hacia las verdades científicas y que procede sistemáticamente a partir de definiciones e hipótesis para avanzar demostrativamente hacia nuevas proposiciones, y el corazón (esprit de finesse), que no se sirve de procedimientos sistemáticos porque posee un poder de comprensión inmediata, repentina y total, en términos de intuición. En esta última se halla la fuente del discernimiento necesario para elegir los valores en que la razón debe cimentar su labor.
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Jakob Bernoulli
Jakob nació el 27 de diciembre del año 1654 en la ciudad suiza de Basilea.
Jakob Bernoulli, también conocido como Jacob, James o Jacques, fue un notable científico y matemático de origen suizo que lograría trascender gracias a sus aportes en las materias indicadas, durante la segunda mitad del siglo XVII.
Jakob Bernoulli, también conocido como Jacob, James o Jacques, fue un notable científico y matemático de origen suizo que lograría trascender gracias a sus aportes en las materias indicadas, durante la segunda mitad del siglo XVII.
Entre sus grandes aportes a la matemática se cuenta aquel que tiene que ver con el cálculo infinitesimal, ya que el trabajo de su colega Gottfried Wilhelm Leibniz consiguió trasladarlo a nuevos y complejos problemas.
Además de a sus investigaciones, Bernoulli, le dedicaría su vida a la docencia. Fundó una escuela en Basilea y fue profesor de la asignatura matemáticas hasta el último día de su vida.
Otra cuestión insoslayable fue la sociedad científica que armó junto a su colega y hermano Johann Bernoulli, especialmente en el tema de las curvas trascendentales.
Como era costumbre en la época y después también, su legado se sistematizó en la que sería su máxima obra: Ars Conjectandi, la cual aportaría muchísimo en cuanto a la teoría de la probabilidad. Se trata de una obra póstuma que su sobrino editaría en el año 1713.
Su falleció a los 50 años de edad, el 16 de agosto del año 1705, como consecuencia de haber contraído la enfermedad de la tuberculosis.
Isaac newton
Científico inglés (Woolsthorpe, Lincolnshire, 1642 - Londres, 1727). Hijo póstumo y prematuro, su madre preparó para él un destino de granjero; pero finalmente se convenció del talento del muchacho y le envió a la Universidad de Cambridge, en donde hubo de trabajar para pagarse los estudios. Allí Newton no destacó especialmente, pero asimiló los conocimientos y principios científicos de mediados del siglo XVII, con las innovaciones introducidas por Galileo, Bacon, Descartes, Kepler y otros.
Tras su graduación en 1665, Isaac Newton se orientó hacia la investigación en Física y Matemáticas, con tal acierto que a los 29 años ya había formulado teorías que señalarían el camino de la ciencia moderna hasta el siglo XX; por entonces ya había obtenido una cátedra en su universidad (1669).
Suele considerarse a Isaac Newton uno de los protagonistas principales de la llamada «Revolución científica» del siglo XVII y, en cualquier caso, el padre de la mecánica moderna.
Newton coincidió con Leibniz en el descubrimiento del cálculo integral, que contribuiría a una profunda renovación de las Matemáticas; también formuló el teorema del binomio (binomio de Newton). Pero sus aportaciones esenciales se produjeron en el terreno de la Física.
También trabajó en otras áreas, como la termodinámica y la acústica; pero su lugar en la historia de la ciencia se lo debe sobre todo a su refundación de la mecánica.
En su obra más importante, Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), formuló rigurosamente las tres leyes fundamentales del movimiento: la primera ley de Newton o ley de la inercia, según la cual todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si no actúa sobre él ninguna fuerza; la segunda o principio fundamental de la dinámica, según el cual la aceleración que experimenta un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre él dividida por su masa; y la tercera, que explica que por cada fuerza o acción ejercida sobre un cuerpo existe una reacción igual de sentido contrario.
René Descartes
(La Haye, Francia, 1596 - Estocolmo, Suecia, 1650) Filósofo y matemático francés. René Descartes se educó en el colegio jesuita de La Flèche (1604-1612), donde gozó de un cierto trato de favor en atención a su delicada salud.
Obtuvo el título de bachiller y de licenciado en derecho por la facultad de Poitiers (1616), y a los veintidós años partió hacia los Países Bajos, donde sirvió como soldado en el ejército de Mauricio de Nassau. En 1619 se enroló en las filas del duque de Baviera; el 10 de noviembre, en el curso de tres sueños sucesivos, René Descartes experimentó la famosa «revelación» que lo condujo a la elaboración de su método.
El método cartesiano, que Descartes propuso para todas las ciencias y disciplinas, consiste en descomponer los problemas complejos en partes progresivamente más sencillas hasta hallar sus elementos básicos, las ideas simples, que se presentan a la razón de un modo evidente, y proceder a partir de ellas, por síntesis, a reconstruir todo el complejo, exigiendo a cada nueva relación establecida entre ideas simples la misma evidencia de éstas.
Los ensayos científicos que seguían, ofrecían un compendio de sus teorías físicas, entre las que destaca su formulación de la ley de inercia y una especificación de su método para las matemáticas. Los fundamentos de su física mecanicista, que hacía de la extensión la principal propiedad de los cuerpos materiales, los situó en la metafísica que expuso en 1641, donde enunció así mismo su demostración de la existencia y la perfección de Dios y de la inmortalidad del alma. El mecanicismo radical de las teorías físicas de Descartes, sin embargo, determinó que fuesen superadas más adelante.
Descartes es considerado como el iniciador de la filosofía racionalista moderna por su planteamiento y resolución del problema de hallar un fundamento del conocimiento que garantice la certeza de éste, y como el filósofo que supone el punto de ruptura definitivo con la escolástica.
Henri Poincaré
(Nancy, Francia, 1854 - París, 1912) Matemático francés. Ingresó en el Polytechnique en 1873, continuó sus estudios en la Escuela de Minas bajo la tutela de C. Hermite, y se doctoró en matemáticas en 1879. Fue nombrado profesor de física matemática en La Sorbona (1881), puesto que mantuvo hasta su muerte. Antes de llegar a los treinta años desarrolló el concepto de funciones automórficas, que usó para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes algebraicos.
n 1895 publicó su Analysis situs, un tratado sistemático sobre topología. En el ámbito de las matemáticas aplicadas estudió numerosos problemas sobre óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, macánica cuántica, teoría de la relatividad y cosmología. Ha sido descrito a menudo como el último universalista de la disciplina matemática.
En el campo de la mecánica elaboró diversos trabajos sobre las teorías de la luz y las ondas electromagnéticas, y desarrolló, junto a Albert Einstein y Hendrik Lorentz, la teoría de la relatividad restringida. La conjetura de Poincaré es uno de los problemas no resueltos más desafiantes de la topología algebraica, y fue el primero en considerar la posibilidad de caos en un sistema determinista, en su trabajo sobre órbitas planetarias. Este trabajo tuvo poco interés hasta que empezó el estudio moderno de la dinámica caótica en 1963.
En 1889 fue premiado por sus trabajos sobre el problema de los tres cuerpos. Algunos de sus trabajos más importantes incluyen los tres volúmenes de Los nuevos métodos de la mecánica celeste, publicados entre 1892 y 1899, y Lecciones de mecánica celeste (Léçons de mécanique céleste, 1905).
Gottfried Wilhelm Leibniz
(Gottfried Wilhelm von Leibniz; Leipzig, actual Alemania, 1646 - Hannover, id., 1716) Filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, falleció cuando Leibniz contaba seis años. Capaz de escribir poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica.
En 1661 ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas con E. Weigel. En 1666, la Universidad de Leipzig rechazó, a causa de su juventud, concederle el título de doctor, que Leibniz obtuvo sin embargo en Altdorf; tras rechazar el ofrecimiento que allí se le hizo de una cátedra, en 1667 entró al servicio del arzobispo elector de Maguncia como diplomático, y en los años siguientes desplegó una intensa actividad en los círculos cortesanos y eclesiásticos.
En 1672 fue enviado a París con la misión de disuadir a Luis XIV de su propósito de invadir Alemania; aunque fracasó en la embajada, Leibniz permaneció cinco años en París, donde desarrolló una fecunda labor intelectual. De esta época datan su invención de una máquina de calcular capaz de realizar las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, así como la elaboración de las bases del cálculo infinitesimal.
El problema de encontrar un fundamento racional para estas últimas lo resolvió afirmando que su contingencia era consecuencia del carácter finito de la mente humana, incapaz de analizarlas por entero en las infinitas determinaciones de los conceptos que en ellas intervienen, ya que cualquier cosa concreta, al estar relacionada con todas las demás siquiera por ser diferente de ellas, posee un conjunto de propiedades infinito.
Frente a la física cartesiana de la extensión, Leibniz defendió una física de la energía, ya que ésta es la que hace posible el movimiento. Los elementos últimos que componen la realidad son las mónadas, puntos inextensos de naturaleza espiritual, con capacidad de percepción y actividad, que, aun siendo simples, poseen múltiples atributos; cada una de ellas recibe su principio activo y cognoscitivo de Dios, quien en el acto de la creación estableció una armonía entre todas las mónadas. Esta armonía preestablecida se manifiesta en la relación causal entre fenómenos, así como en la concordancia entre el pensamiento racional y las leyes que rigen la naturaleza.
Las contribuciones de Leibniz en el campo del cálculo infinitesimal, efectuadas con independencia de los trabajos de Newton, así como en el ámbito del análisis combinatorio, fueron de enorme valor. Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral. Los trabajos que inició en su juventud, la búsqueda de un lenguaje perfecto que reformara toda la ciencia y permitiese convertir la lógica en un cálculo, acabaron por desempeñar un papel decisivo en la fundación de la moderna lógica simbólica.
Carl Gauss - Carl Friedrich Gauss
Nació el 30 de abril de 1777 en Braunschweig. Hijo de un albañil, antes de cumplir los tres años de edad aprendió a leer y hacer cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Ingresó a la escuela primaria antes de cumplir los siete años y cuando tenía diez, su maestro solicitó a la clase que encontrará la suma de todos los númeroscomprendidos entre uno y cien pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Reveló que encontró la solución usando el álgebra.
Cuando tenía doce años, criticó los fundamentos de la geometría euclidiana; a los trece le interesaba las posibilidades de la geometría no euclidiana. A los quince, entendía la convergencia y probó el binomio de Newton. Su genio y precocidad llamaron la atención del duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el muchacho tenía catorce años, costear tanto su educación secundaria como universitaria.
Cursó estudios en lenguas antiguas, aunque a los 17 años se interesa definitivamente por las matemáticas. Intentó encontrar la solución del problema clásico de la construcción de un heptágono regular, o figura de siete lados, con una regla y un compás. Probó que era imposible y continuó aportando métodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados.
Cuando tenía doce años, criticó los fundamentos de la geometría euclidiana; a los trece le interesaba las posibilidades de la geometría no euclidiana. A los quince, entendía la convergencia y probó el binomio de Newton. Su genio y precocidad llamaron la atención del duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el muchacho tenía catorce años, costear tanto su educación secundaria como universitaria.
Cursó estudios en lenguas antiguas, aunque a los 17 años se interesa definitivamente por las matemáticas. Intentó encontrar la solución del problema clásico de la construcción de un heptágono regular, o figura de siete lados, con una regla y un compás. Probó que era imposible y continuó aportando métodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados.
Realizó estudios geodésicos y aplicó las matemáticas a la geodesia. Junto con el físico alemán Wilhelm Eduard Weber, investigó sobre el magnetismo y la electricidad; una unidad de inducción magnética recibe su nombre. También investigó los sistemas de lentes y se interesó por la astronomía.
El asteroide Ceres había sido descubierto en 1801 y Gauss calculó su posición exacta, de forma que fue fácil su redescubrimiento. También ideó un nuevo sistema para calcular las órbitas de los cuerpos celestes. En el año 1807 Carl Gauss fue profesor de matemáticas y dirigió el observatorio de Gotinga, ocupando los dos cargos hasta el 23 de febrero de 1855, fecha de su fallecimiento.
El asteroide Ceres había sido descubierto en 1801 y Gauss calculó su posición exacta, de forma que fue fácil su redescubrimiento. También ideó un nuevo sistema para calcular las órbitas de los cuerpos celestes. En el año 1807 Carl Gauss fue profesor de matemáticas y dirigió el observatorio de Gotinga, ocupando los dos cargos hasta el 23 de febrero de 1855, fecha de su fallecimiento.
Leonhard Euler
(Basilea, Suiza, 1707 - San Petersburgo, 1783) Matemático suizo. Las facultades que desde temprana edad demostró para las matemáticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cátedra de matemáticas.
A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmica.
En el terreno del álgebra obtuvo así mismo resultados destacados, como el de la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras, tratados y publicaciones introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los divisores de un número y expresión del número imaginario raíz de menos uno. También se ocupó de la teoría de números, campo en el cual su mayor aportación fue la ley de la reciprocidad cuadrática, enunciada en 1783.
Claudio Tolomeo
Claudio Tolomeo vivió en el siglo II d.C. trabajando en la Biblioteca de Alejandría. Fue astrólogo y astrónomo, actividades que en esa época estaban íntimamente ligadas. Heredero de la concepción del Universo dada por Platón y Aristóteles, su método de trabajo difirió notablemente del de éstos, pues mientras Platón y Aristóteles dan una cosmovisión del Universo, Tolomeo es un empirista. Su trabajo consistió en estudiar la gran cantidad de datos existentes sobre el movimiento de los planetas con el fin de construir un modelo geométrico que explicase dichas posiciones en el pasado y fuese capaz de predecir sus posiciones futuras.
La ciencia griega tenía dos posibilidades en su intento de explicar la naturaleza: la explicación realista, que consistiría en expresar de forma rigurosa y racional lo que realmente se da en la naturaleza; y la explicación positivista, que consistiría en expresar de forma racional lo aparente, sin preocuparse de la relación entre lo que se ve y lo que en realidad es.
Tolomeo afirma explícitamente que su sistema no pretende descubrir la realidad, siendo sólo un método de cálculo. Es lógico que adoptara un esquema positivista, pues su Teoría se opone flagrantemente a la física aristotélica: por ejemplo, las órbitas de su sistema son excéntricas, en contraposición a las circulares y perfectas de Platón y Aristóteles.
Tolomeo catalogó muchas estrellas, asignándoles un brillo y magnitud, estableció normas para predecir los eclipses; pero su aportación fundamental fue su modelo del universo: creía que la estaba inmóvil y ocupaba el centro del Universo, y que el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas, giraban a su alrededor. A pesar de ello, mediante la técnica del epiciclo-deferente, cuya invención se atribuye a Apolonio, trata de resolver con bastante éxito los dos grandes problemas del movimiento planetario:
1.- la retrogradación de los planetas y su aumento de brillo, mientras retrogradan.
2.- la distinta duración de las revoluciones siderales.
La ciencia griega tenía dos posibilidades en su intento de explicar la naturaleza: la explicación realista, que consistiría en expresar de forma rigurosa y racional lo que realmente se da en la naturaleza; y la explicación positivista, que consistiría en expresar de forma racional lo aparente, sin preocuparse de la relación entre lo que se ve y lo que en realidad es.
Tolomeo afirma explícitamente que su sistema no pretende descubrir la realidad, siendo sólo un método de cálculo. Es lógico que adoptara un esquema positivista, pues su Teoría se opone flagrantemente a la física aristotélica: por ejemplo, las órbitas de su sistema son excéntricas, en contraposición a las circulares y perfectas de Platón y Aristóteles.
Tolomeo catalogó muchas estrellas, asignándoles un brillo y magnitud, estableció normas para predecir los eclipses; pero su aportación fundamental fue su modelo del universo: creía que la estaba inmóvil y ocupaba el centro del Universo, y que el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas, giraban a su alrededor. A pesar de ello, mediante la técnica del epiciclo-deferente, cuya invención se atribuye a Apolonio, trata de resolver con bastante éxito los dos grandes problemas del movimiento planetario:
1.- la retrogradación de los planetas y su aumento de brillo, mientras retrogradan.
2.- la distinta duración de las revoluciones siderales.
Albert Einstein
Físico alemán nacionalizado estadounidense, premiado con un Nobel, famoso por ser el autor de las teorías general y restringida de la relatividad y por sus hipótesis sobre la naturaleza corpuscular de la luz. Es probablemente el científico más conocido del siglo XX.
Nació el 14 de marzo de 1879 en Ulm, Württemberg, Alemania y pasó su juventud en Munich, donde su familia poseía un pequeño taller de máquinas eléctricas. Ya desde muy joven mostraba una curiosidad excepcional por la naturaleza y una capacidad notable para entender los conceptos matemáticos más complejos. A los doce años ya conocía la geometría de Euclides.
A la edad de 15 años, cuando su familia se trasladó a Milán, Italia, a causa de sucesivos fracasos en los negocios, Einstein abandonó la escuela. Pasó un año con sus padres en Milán y viajó a Suiza, donde terminó los estudios secundarios, e ingresó en el Instituto Politécnico Nacional de Zurich.
Durante dos años Einstein trabajó dando clases particulares y de profesor suplente. En 1902 consiguió un trabajo estable como examinador en la Oficina Suiza de Patentes en Berna.
Murió 18 de abril de 1955 en Princeton, New Jersey, EE.UU.
Nació el 14 de marzo de 1879 en Ulm, Württemberg, Alemania y pasó su juventud en Munich, donde su familia poseía un pequeño taller de máquinas eléctricas. Ya desde muy joven mostraba una curiosidad excepcional por la naturaleza y una capacidad notable para entender los conceptos matemáticos más complejos. A los doce años ya conocía la geometría de Euclides.
A la edad de 15 años, cuando su familia se trasladó a Milán, Italia, a causa de sucesivos fracasos en los negocios, Einstein abandonó la escuela. Pasó un año con sus padres en Milán y viajó a Suiza, donde terminó los estudios secundarios, e ingresó en el Instituto Politécnico Nacional de Zurich.
Durante dos años Einstein trabajó dando clases particulares y de profesor suplente. En 1902 consiguió un trabajo estable como examinador en la Oficina Suiza de Patentes en Berna.
Murió 18 de abril de 1955 en Princeton, New Jersey, EE.UU.
Charles Babbage
(Teignmouth, 1792 - Londres, 1871) Matemático e ingeniero británico, inventor de las máquinas calculadoras programables. Charles Babbage se licenció en la Universidad de Cambridge en 1814. Poco después, en 1815, fundó con J. Herschel la Analytic Society con el propósito de la renovación de la enseñanza de las matemáticas en Inglaterra. En 1816 fue elegido miembro de la Royal Society y en 1828 ingresó en su universidad como profesor de Matemáticas.
Aunque había destacado en el área de la teoría de funciones y análisis algebraico, Charles Babbage se volcó en el intento por conseguir una máquina capaz de realizar con precisión tablas matemáticas. En 1833 completó su "máquina diferencial", capaz de calcular los logaritmos e imprimirlos de 1 a 108.000 con notable precisión, y formuló los fundamentos teóricos de cualquier autómata de cálculo. Por entonces Babbage ya conocía los sistemas decimales de conteo, y estaba familiarizado con la descomposición de complejas operaciones matemáticas en secuencias sencillas.
Después de esto, Babbage se volcó en el proyecto de realizar una "máquina analítica" que fuese capaz de realizar cualquier secuencia de instrucciones aritméticas. Para esta realización contó con fondos del gobierno inglés y con la colaboración de la que está considerada como la primera programadora de la historia, Ada Lovelace, hija del poeta Lord Byron.
Aunque no consiguió su propósito, Charles Babbage sentó los principios básicos de las computadoras modernas, como el concepto de programa o instrucciones básicas, que se introducen en la máquina de manera independiente de los datos, el uso de la memoria para retener resultados y la unidad aritmética. La máquina de Babbage, construida exclusivamente con piezas mecánicas y multitud de ruedas dentadas, utilizaba las tarjetas perforadas para la introducción de datos y programas, e imprimía en papel los resultados con técnicas muy similares a las que se emplearon hasta mediados de los años 70.
En compañía de Ada, la cual empleó mucho de su tiempo en la publicación de las ideas de su maestro, Babbage dedicó sus últimos años y recursos a una máquina infalible que fuese capaz de predecir los ganadores de las carreras de caballos. En honor de Lady Ada Lovelace, el Departamento de Defensa de los EEUU denominaron ADA a un lenguaje de programación de computadoras de alto nivel.
Bernhard Riemann
Nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz. Su padre, un ministro luterano, se encargó de la educación de sus hijos hasta que cumplieron diez años.
Más adelante cursó estudios en las universidades de Gotinga y Berlín. Su padre quiso que estudiaseTeología, sin embargo pidió permiso para estudiar Matemáticas. Se trasladó a Berlín en el año 1846 para estudiar con Jacobi, Dirichlet y Steiner.
Su tesis doctoral Foundations for a General Theory of Functions of a Complex Variable(Fundamentos para una teoría general de funciones de variables complejas), presentada en 1851, constituyó una extraordinaria aportación a la teoría de funciones. Sus escritos de 1854 llegaron a ser un clásico en las matemáticas y estos resultados fueron incorporados dentro de la teoría de la relatividad y gravitación de Einstein.
La importancia de su geometría radica en el uso y extensión de la geometría euclídea y de la geometría de superficies, que conduce a muchas geometrías diferenciales generalizadas, también es necesaria para tratar la electricidad y el magnetismo en la estructura de la relatividad general.
Desde el año 1857 hasta su fallecimiento, el 20 de julio de 1866 en Selasca, Italia, fue profesor de matemáticas en la Universidad de Gotinga.
Más adelante cursó estudios en las universidades de Gotinga y Berlín. Su padre quiso que estudiaseTeología, sin embargo pidió permiso para estudiar Matemáticas. Se trasladó a Berlín en el año 1846 para estudiar con Jacobi, Dirichlet y Steiner.
Su tesis doctoral Foundations for a General Theory of Functions of a Complex Variable(Fundamentos para una teoría general de funciones de variables complejas), presentada en 1851, constituyó una extraordinaria aportación a la teoría de funciones. Sus escritos de 1854 llegaron a ser un clásico en las matemáticas y estos resultados fueron incorporados dentro de la teoría de la relatividad y gravitación de Einstein.
La importancia de su geometría radica en el uso y extensión de la geometría euclídea y de la geometría de superficies, que conduce a muchas geometrías diferenciales generalizadas, también es necesaria para tratar la electricidad y el magnetismo en la estructura de la relatividad general.
Desde el año 1857 hasta su fallecimiento, el 20 de julio de 1866 en Selasca, Italia, fue profesor de matemáticas en la Universidad de Gotinga.
Alan Mathison Turing
(Alan Mathison Turing; Londres, 1912-Wilmslow, Reino Unido, 1954) Matemático británico. Pasó sus primeros trece años en la India, donde su padre trabajaba en la Administración colonial. De regreso al Reino Unido, estudió en el King’s College y, tras su graduación, se trasladó a la Universidad estadounidense de Princeton, donde trabajó con el lógico A. Church.
En 1937 publicó un célebre artículo en el que definió una máquina calculadora de capacidad infinita (máquina de Turing) que operaba basándose en una serie de instrucciones lógicas, sentando así las bases del concepto moderno de algoritmo. Así, Turing describió en términos matemáticos precisos cómo un sistema automático con reglas extremadamente simples podía efectuar toda clase de operaciones matemáticas expresadas en un lenguaje formal determinado. La máquina de Turing era tanto un ejemplo de su teoría de computación como una prueba de que un cierto tipo de máquina computadora podía ser construida.
La Segunda Guerra Mundial ofreció un insospechado marco de aplicación práctica de sus teorías, al surgir la necesidad de descifrar los mensajes codificados que la Marina alemana empleaba para enviar instrucciones a los submarinos que hostigaban los convoyes de ayuda material enviados desde Estados Unidos; Turing, al mando de una división de la Inteligencia británica, diseñó tanto los procesos como las máquinas que, capaces de efectuar cálculos combinatorios mucho más rápido que cualquier ser humano, fueron decisivos en la ruptura final del código.
Definió además un método teórico para decidir si una máquina era capaz de pensar como un hombre (test de Turing) y realizó contribuciones a otras ramas de la matemática aplicada, como la aplicación de métodos analíticos y mecánicos al problema biológico de la morfogénesis. En el ámbito personal, su condición de homosexual fue motivo constante de fuertes presiones sociales y familiares, hasta el punto de especularse si su muerte por intoxicación fue accidental o se debió a un intento de suicidio.
Évariste Galois
(Bourg-la-Reine, Francia, 1811 - París, 1832) Matemático francés. Hijo de una familia de políticos y juristas, fue educado por sus padres hasta los doce años, momento en el que ingresó en el Collège Royal de Louis-le-Grand, donde enseguida mostró unas extraordinarias aptitudes para las matemáticas.
Con sólo dieciseis años, interesado en hallar las condiciones necesarias para definir si una ecuación algebraica era susceptible de ser resuelta por el método de los radicales, empezó a esbozar lo que más adelante se conocería con el nombre genérico de «teoría de Galois», analizando todas las permutaciones posibles de las raíces de una ecuación que cumplieran unas condiciones determinadas.
Mediante dicho proceso, que en terminología actual equivale al de hallar el grupo de automorfismos de un cuerpo, sentó las bases de la moderna teoría de grupos, una de las ramas más importantes del álgebra. Galois intuyó que la solubilidad mediante radicales estaba sujeta a la solubilidad del grupo de automorfismos relacionado.
A pesar de sus revolucionarios descubrimientos, o tal vez por esa misma causa, todas las memorias que publicó con sus resultados fueron rechazadas por la Academia de las Ciencias, algunas de ellas por matemáticos tan eminentes como Cauchy, Fourier o Poisson. Subsiguientes intentos de entrar en la Escuela Politécnica se saldaron con sendos fracasos, lo cual le sumió en una profunda crisis personal, agravada en 1829 por el suicidio de su padre.
Miembro activo de la oposición antimonárquica, se vio implicado en un duelo cuyas motivaciones aún hoy permanecen confusas. Previendo su más que posible muerte en el lance, trabajó febrilmente en una especie de testamento científico que dirigió a su amigo Auguste Chevalier. A los pocos días tuvo lugar el duelo y el matemático, herido en el vientre, murió unas horas después, apenas cumplidos los veintiún años.
Leonardo de Pisa [Fibonacci]
(Leonardo Bigollo, llamado también Leonardo Fibonacci, Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci o Fibonacci; Pisa, actual Italia, c. 1175 - id., c. 1240) Matemático italiano que difundió en Occidente los conocimientos científicos del mundo árabe, los cuales recopiló en el Liber Abaci (Libro del ábaco). Popularizó el uso de las cifras árabes y expuso los principios de la trigonometría en su obra Practica Geometriae(Práctica de la geometría).
Considerado como el primer algebrista de Europa (cronológicamente hablando) y como el introductor del sistema numérico árabe, fue educado de niño en Argelia, donde su padre era funcionario de aduanas, y donde aprendió "el ábaco, al uso de los indios". Después tuvo manera, por razones de tipo comercial, de conocer todo lo que de esta ciencia se enseñaba en Egipto, en Siria, en Sicilia y en Provenza. Al material así reunido le dio un orden, una unidad de método y una claridad de enseñanza en el Liber Abaci(Libro del ábaco), que, como modelo de texto universitario, sirvió también, por su caudal de ejemplos, para la compilación de manuales de aritmética para uso de los comerciantes.
Escrita en 1202 y ampliada en una segunda redacción en 1228, la obra contiene quince capítulos; en el primero se expone la numeración de las nueve cifras que Fibonacci llama "indias" y que, en efecto, son diez, porque es necesario añadirles el cero "quod arabice zephirum apellatur"; en los capítulos siguientes Leonardo expone nociones suficientes sobre el cálculo digital, tablas de adición y multiplicación, mostrando su uso para realizar las cuatro operaciones con cifras de considerable extensión, y dando a conocer los criterios de divisibilidad por dos, por tres y hasta trece, reuniendo en tablitas a propósito los resultados de las divisiones por estos números de algunos enteros no superiores al 200.
Si bien esta obra de Fibonacci tenía un carácter exclusivamente didáctico, hay que convenir que constituye uno de los principales tratados geométricos de la Edad Media. Por otra parte se encuentra en la misma obra una parte intermedia dedicada a una teoría aritmética sobre los radicales cuadrados y cúbicos, aparte de un método para la extracción de las raíces cuadrada y cúbica de un número dado. Merece también destacarse en el libro de Fibonacci la exposición de los procedimientos ideados por Arquitas, Platón y Herón de Alejandría para duplicar el cubo, problema que junto con el de la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo, sedujo vanamente a generaciones enteras de estudiosos.
Entre otros textos de Fibonacci conocidos figura un comentario al libro de los Elementos de Euclides. Se sabe también que compuso un Libro di merchatanti. Es asimismo célebre por el descubrimiento de la denominada serie de Fibonacci, entre cuyas propiedades cabe citar su recurrencia en numerosas formaciones orgánicas naturales.
Joseph-Louis de Lagrange
(Turín, 1736 - París, 1813) Matemático francés de origen italiano. Estudió en su ciudad natal y hasta los diecisiete años no mostró ninguna aptitud especial para las matemáticas. Sin embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó su interés, y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Nombrado profesor de la Escuela de Artillería, en 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín.
En su obra Miscellanea taurinensia, escrita por aquellos años, obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo, y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes. Escribió asimismo numerosos artículos sobre el cálculo integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción mutuas.
A principios de 1760 era ya uno de los matemáticos más respetados de Europa, a pesar del flagelo de una salud extremadamente débil. Su siguiente trabajo sobre el equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que la Luna siempre mostrara la misma cara, le supuso la concesión, en 1764, de un premio por la Academia de Ciencias de París. Hasta que se trasladó a la capital francesa en 1787, escribió gran variedad de tratados sobre astronomía, resolución de ecuaciones, cálculo de determinantes de segundo y tercer orden, ecuaciones diferenciales y mecánica analítica.
En 1795 se le concedió una cátedra en la recién fundada École Normale, que ocupó tan solo durante cuatro meses. Dos años más tarde, tras la creación de la École Polytechnique, Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron a sus clases las describieron como «perfectas en forma y contenido». Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras Teoría de las funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas (1798). En 1810 inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte.
Gaspard Monge
(Beaune, Francia, 1746-París, 1818) Matemático francés. Hijo de un comerciante, sus grandes dotes para el dibujo (siendo muy joven realizó un perfecto mapa de su ciudad natal) le abrieron las puertas de la Escuela Militar de Mezières. Allí empezó a desarrollar métodos de representación de objetos tridimensionales mediante su proyección sobre dos planos, métodos que fueron clasificados como de alto secreto por el ejército y que constituyen los inicios de la geometría descriptiva.
Afiliado a la causa revolucionaria (fue miembro del club de los Jacobinos), tras el triunfo de la misma, Monge desempeñó numerosos cargos gubernamentales; como ministro de Marina, fue el encargado de firmar la condena oficial a muerte de Luis XVI.
Convencido de la importancia de la educación, intervino en la creación de instituciones académicas como la École Normale Supérieure o la Polytechnique. Amigo personal de Napoleón Bonaparte, acompañó al entonces general en su campaña de Egipto (1798-1801). A su regreso continuó dando clases en la Polytechnique; su labor pedagógica resultó decisiva en la formación de una espléndida generación de geómetras franceses, entre los que cabe citar a Poncelet, Dupin, Meusnier y Rodrigues.
La contribución de Monge a la geometría fue inmensa, tanto en diversidad como en profundidad; amén de la rama descriptiva, se le considera a menudo el fundador de la geometría diferencial. En su obra Aplicaciones del análisis a la geometríaintrodujo importantes conceptos. Además fue el primero en emplear de forma sistemática las ecuaciones en derivadas parciales para el estudio de las superficies. En su doble faceta de científico y pedagogo, se le considera el principal responsable de la gran expansión experimentada por la geometría en el siglo XIX.
Ángulos
Un ángulo es una figura conformada en una superficie por dos líneas que tienen el mismo
punto de origen. Existen distintas maneras de clasificarlos, algunas de ellas son:
A) Tipos de ángulos según su medida:
punto de origen. Existen distintas maneras de clasificarlos, algunas de ellas son:
El ángulo agudo mide menos de 90°.
El recto mide 90°.
El ángulo convexo mide menos de 180°.
El obtuso es aquel que mide más de 90°.
El llano mide 180°.
El llano mide 180°.
El ángulo cóncavo es mayor de 180°.
El nulo mide 0°.
Triángulo
Es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos. Los puntos de intersección de las rectas son los vértices.
Tipos de ángulos:
Triángulo equilátero
Tres lados iguales
Tres ángulos iguales, todos 60°
Tres ángulos iguales, todos 60°
Triángulo isósceles
Dos lados iguales
Dos ángulos iguales
Dos ángulos iguales
Triángulo escaleno
No hay lados igualesNo hay ángulos iguales
Recta de Euler
El ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (K) tienen una curiosa propiedad en común: están alineados.
La recta que pasa por los tres se conoce con el nombre de Recta de Euler (Leonhard Euler, uno de los grandes de la historia de las Matemáticas).
Si el triángulo es equilátero, los tres coinciden. Con una simulación discreta, como es la pantalla de un ordenador, es imposible obtener exáctamente un triángulo equilátero; por eso, siempre veremos una recta dibujada.
Medición de aagulos
Medir un angulo es compararlo con otro que se toma como unidad.La unidad que se una con mas frecuencia es el grado, que es la unidad de medida angular del sistema sexagesimal.
Ángulos entre paralelas
Los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.
Teoremas de los ángulos en los triángulos
en un triangulo existen dos tipos de ángulos
los ángulos interiores lo forman dos lados.
los ángulos exteriores lo forman un lado y su prolongación.
Principio:
1.-Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes
2.-Los ángulos correspondientes en paralelas son congruentes
2.-Los ángulos correspondientes en paralelas son congruentes
3.-Los ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes
Teorema:
1.-La suma de los ángulos internos de un triangulo es 180°
2.- El angulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos a el
Sistema sexagesimal
Es un sistema de numeracion en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferiore, es decir, es un sistema de numeracion en base 60 se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la ampitud de los angulos..
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos.Si hacemos coincidir los vértices de los triángulos que tengan el mismo ángulo obtenemos lo que se llama posición en Tales de los triángulos semejantes.
Teorema de Pitagoras
si el triangulo tienen un ángulo recto de 90° y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces el cuadrado mas grande tiene exactamnete la misma area que los otros dos cuadrados juntos.
El lado mas largo del triangulo se llama "hipotenusa" asi que la deficicion formal es:
en un triangulo rectangulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros ldos.
entonces , el cuadrado de a (a2) más el cuadrado de b (b2) es igual al cuadrado de c(c2).
Encontrando la Longitud de la Hipotenusa
Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conocemos la longitud de sus catetos. Es decir, si conocemos las longitudes de a y b, podemos encontrar c.
Encontrando la Longitud de un Cateto
Podemos también usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo si nos dan las medidas de la hipotenusa y del otro cateto. Considera el triángulo siguiente:
Para encontrar la longitud del cateto a, podemos sustituir los valores b y c en la fórmula y luego usar un poco de razonamiento algebraico para calcular a.
Los propietarios de una casa quieren convertir a una rampa los escalones que llevan del suelo al porche. El porche está a 3 pies sobre el suelo, y debido a regulaciones de construcción, la rampa debe empezar a 12 pies de distancia con respecto al porche. ¿Qué tan larga debe ser la rampa?
Para resolver un problema como este, normalmente dibujamos un diagrama simple que muestre los catetos y la hipotenusa del triángulo.
Observando el diagrama, podemos identificar los catetos y la hipotenusa del triángulo en el problema, Sabemos que el triángulo es un triángulo rectángulo porque el suelo y la parte del porche son perpendiculares, — esto significa que podemos usar el Teorema de Pitágoras para resolver este problema. Nos dan las longitudes de los catetos a y b, por lo que podemos usar esa información para encontrar la longitud de c, la hipotenusa.
Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
